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[数学問題]三角形の小部屋を遷移していくときの確率


今回は、確率の問題です。

[問題]
https://twitter.com/mathematics_bot/status/640710332021735424
正三角形を9つの部屋に辺で区切り、部屋P,Qを定める。1つの球が部屋Pを出発し、1秒ごとにそのままその部屋に留まることなく辺を共有する隣の部屋に等確率で移動する。球がn秒後に部屋Qにある確率を求めよ。



[私の解答]

P,Qに加えて、図示するように部屋Rを定めます。


明らかに、偶数秒後には球は部屋P,Q,Rのいずれかに必ず存在し、
奇数秒後には球はその他の部屋のいずれかに必ず存在します。

したがって、以下、nが偶数の場合について考えます。
n秒後に球が部屋Qにある確率を、pとします。
最初に球がある部屋Pを基準としたとき、部屋QとRとは対称な位置にありますから、
n秒後に球が部屋Rにある確率は、pです。
n秒後に球が部屋Pにあるのはこれらの事象の余事象ですから、その確率は、1-2pです。

n-2秒後(n≧2)に球が部屋Pにある場合、n秒後に球が部屋Qに来る確率は、1/6です。
n-2秒後(n≧2)に球が部屋Qにある場合、n秒後に球が部屋Qに来る確率は、2/3です。
n-2秒後(n≧2)に球が部屋Rにある場合、n秒後に球が部屋Qに来る確率は、1/6です。

したがって、n秒後に球が部屋Qにある確率pは、pn-2を用いて次のように表されます。

=(1-2pn-2)×(1/6)+pn-2×(2/3)+pn-2×(1/6)
=(1/6)+pn-2×(1/2)

上の漸化式より、nが偶数の場合の一般項pは、次のように表せます。



ここで、p=0ですからこれを代入し、さらに式を整理すると、次のとおりです。



つまり、nが偶数のときは上記の式の通りで、
nが奇数のときは p=0 です。

以上


[付記]

nが大きくなればnが偶数のときのpの値が1/3に収束していくのは、直感に合ってますね。

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