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[数学問題] 1^n+2^n+3^nを5で割った余り


もう一問、解いてみます。

[問題]
https://twitter.com/mathematics_bot/status/636361679383560192
P=1^n+2^n+3^nを5で割った余りをRとする。nが自然数のとき、Rの値を求めよ。

[私の解答]

n=1,2,・・・ のとき、1^nは、5の剰余系において、1,1,・・・ であり、以下循環する(周期1)。

n=1,2,3,4,5・・・ のとき、2^nは、5の剰余系において、2,4,3,1,2,・・・ であり、以下循環する(周期4)。

n=1,2,3,4,5・・・ のとき、3^nは、5の剰余系において、3,4,2,1,3,・・・ であり、以下循環する(周期4)。

つまり、n=1,2,3,4,5・・・ のとき、P=1^n+2^n+3^n は、5の剰余系において、1,4,1,3,1,・・・ であり、以下循環する(周期4)。

即ち、nが奇数のとき、R=1
nが偶数であり、4の倍数ではないとき、R=4
nが4の倍数のとき、R=3

以上

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