[数学問題] 複素平面上に図示する


[問題]
https://twitter.com/mathematics_bot/status/633870266314063873
ωは1の三乗根で虚部が正である複素数、a,bは整数とする。不等式|aω+b|<2を満たす複素数aω+bを全て求め、それらを複素数平面上に図示せよ。ただし複素数z=x+yi[x,yは実数でiは虚数単位]に対してyをzの虚部、|z|はzの絶対値を表す。


[私の解答]
ω=-(1/2)+(√3/2)i です。




したがって、
|aω+b| 
= |a{-(1/2)+(√3/2)i}+b|
= | {b-(a/2)}+(a√3/2)i | 
= √( a/4+b-ab+3a/4 )
= √( a+b-ab ) ・・・ (1)

|a|≧3のとき、式(1)より、|aω+b|<2という条件を満たしません。

a=+2のとき、式(1)より、b=1の場合に限り、|aω+b|<2という条件を満たします。

a=+1のとき、式(1)より、b=-1,0,1,2の場合に限り、|aω+b|<2という条件を満たします。

a=0のとき、式(1)より、b=-1,0,1の場合に限り、、|aω+b|<2という条件を満たします。

a=-1のとき、式(1)より、b=-2,-1,0,1の場合に限り、|aω+b|<2という条件を満たします。

a=-2のとき、式(1)より、b=-1の場合に限り、、|aω+b|<2という条件を満たします。

つまり、条件を満たす整数の組(a,b)は、
(a,b)=(2,1), (1,-1), (1,0), (1,1), (1,2), (0,-1), (0,0), (0,1), (-1,-2), (-1,-1), (-1,0), (-1,1), (-2,-1)

そして、これらの(a,b)に対応する複素数は、それぞれ、
(√3)i , -3/2+{(√3)/2}i , -1/2+{(√3)/2}i , 1/2+{(√3)/2}i , 3/2+{(√3)/2}i , -1 , 0 , 1 , -3/2-{(√3)/2}i , -1/2-{(√3)/2}i , 1/2-{(√3)/2}i , 3/2-{(√3)/2}i , -(√3)i 

これらを複素平面上に示したものが、上図である。
ただし、上図において、白丸(○)で示す点は、これらの複素数に対応するものではない。

以上


[付記]

同図において、赤色の丸で示す点はωである。また、青色の丸で示す点は1です。
赤色の破線と緑色の破線とで示す格子は、整数の組(a,b)に応じた斜交座標系です。
つまり、aの変化に応じた方向を赤色の破線で示し、bの変化に応じた方向を緑色の破線で示しています。
なお、白丸(○)で示す点は、|aω+b|=2 であり、問題に記された条件を満たしません。

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