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[数学問題] 整数4つと四則演算子で10の倍数を作れるか


これは、面白い問題です。@wand125さんが作った問題です。


[問題]
任意に選ばれた4つの整数を一度ずつ使い、四則演算子によって数式を作る。この時必ず10の倍数が作れることを示せ。

[私の回答]

単項演算子「-」によって正負を逆転させることが可能であるため、4つの非負整数を使って10の倍数が作れることを、以下に示します。

それらの4つの非負整数の、10の剰余系を取り、それらをa,b,c,dとします。
つまり、a,b,c,d∈{0,1,・・・,9}です。
以下の説明における演算は、10の剰余系において行います。

(1)同じ数が含まれる場合

 a,b,c,dの中に同じ数が1組以上含まれる場合、それらの同じ数がa,bであるとすると、
(a-b)×F(c,d)=0

ただし、F()は、括弧内の引数と、加算、減算、乗算の演算子とを組み合わせて得られる数です。F()については、以下においても同様です。

(2)4つの数がすべて異なる場合

(2-1)0が含まれる場合

a,b,c,dの中に0が含まれる場合、aを0とすると、
a×F(b、c、d)=0

(2-2)0が含まれない場合

(2-2-1)奇数4個の場合

a,b,c,dがすべて奇数の場合、a,b,c,dは、それぞれ、1,3,5,7,9のいずれかであり、且つ互いに異なります。
つまり、a,b,c,dは、少なくとも、1と9の両方を含むか、3と7の両方を含みます。
(a,b)=(1,9)または(3,7)とします。すると、
(a+b)×F(c,d)=0

(2-2-2)奇数が3個で偶数が1個の場合

(2-2-2-1)奇数3個の中に5を含む場合

aが偶数であり、b=5とします。
(a×b)×F(c,d)=0

(2-2-2-2)奇数3個の中に5を含まない場合

aが偶数であり、b,c,dが奇数であるとします。
b,c,dは、それぞれ、1,3,7,9のいずれかであり、且つ互いに異なります。
つまり、b,c,dは、少なくとも、1と9の両方を含むか、3と7の両方を含みます。
(a,b)=(1,9)または(3,7)とします。すると、
(a+b)×F(c,d)=0

(2-2-3)奇数が2個で偶数が2個の場合

(2-2-3-1)奇数の中に5を含む場合

a=5とします。bを奇数とし、c,dを偶数とします。
(a×c)×F(b,d)=0

(2-2-3-2)奇数の中に5を含まない場合

a,bを奇数とし、c,dを偶数とします。
(a,b)=(1,3),(1,7),(1,9),(3,7),(3,9),(7,9) のいずれかです。

(2-2-3-2-1) (a,b)=(1,3)の場合

・偶数の中に4を含むならば、c=4として、
 (a+b-c)×d=0
・偶数の中に2を含むならば、c=2として、
 (b-a-c)×d=0
・偶数に2も4も含まないならば、c=6、d=8として、
 (a+b+c)×d=0

(2-2-3-2-2) (a,b)=(1,7)の場合

・偶数の中に8を含むならば、c=8として、
 (a+b-c)×d=0
・偶数の中に6を含むならば、c=6として、
 (b-a-c)×d=0
・偶数に6も8も含まないならば、c=2、d=4として、
 (a+b+c)×d=0

(2-2-3-2-3) (a,b)=(1,9)の場合

(a+b)×F(c,d)=0

(2-2-3-2-4) (a,b)=(3,7)の場合

(a+b)×F(c,d)=0

(2-2-3-2-5) (a,b)=(3,9)の場合

・偶数の中に2を含むならば、c=2として、
 (a+b-c)×d=0
・偶数の中に6を含むならば、c=6として、
 (b-a-c)×d=0
・偶数に2も6も含まないならば、c=4、d=8として、
 (a+b+d)×c=0

(2-2-3-2-6) (a,b)=(7,9)の場合

・偶数の中に6を含むならば、c=6として、
 (a+b-c)×d=0
・偶数の中に2を含むならば、c=2として、
 (b-a-c)×d=0
・偶数に2も6も含まないならば、c=4、d=8として、
 (a+b+c)×d=0

(2-2-4)奇数が1個で偶数が3個の場合

aが奇数であり、b,c,dが偶数であるとします。
b,c,dは、それぞれ、2,4,6,8のいずれかであり、且つ互いに異なります。
つまり、a,b,cは、少なくとも、2と8の両方を含むか、4と6の両方を含みます。
(a,b)=(2,8)または(4,6)とします。すると、
(a+b)×F(c,d)=0

(2-2-5)偶数4個の場合

(a,b,c,d)=(2,4,6,8)とします。
(a+d)×F(b,c)=0

以上



[付記]

面白い問題だと思います。一応、解けたつもりですが、完全な自信があるわけではありません。
なお、上の解答が正しいならば、四則演算のうちの、+、-、×のみを用いて10の倍数を作れることを説明できたことになります。
もっとエレガントな解答もあり得るでしょうね。

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