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[数学問題] x^2+y^2≦1000,|x^2-y^2|≦20


もう一題、解いてみようと思います。

[問題]
https://twitter.com/mathematics_bot/status/631665738915278848
x^2+y^2≦1000,|x^2-y^2|≦20を共に満たす整数(x,y)は何組あるか求めよ。


[私の回答]

xy平面上で考えます。

1) 原点

(x,y)=(0,0)は条件を満たします。
これが、1組。

2)x軸上のx>0側

(x,y)=(1,0),(1,0),(3,0),(4,0) の4組が(そしてこれらのみが)条件を満たします。
これが、4組。
X軸上のX<0側、y軸上のy>0側、y軸上のy<0側も同様ですので、
これらの合計が、16組。

3)直線y=x上のX>0側

(x,y)=(1,1),(2,2),・・・,(22,22)の22組が(そしてこれらのみが)条件を満たします。
これが、22組。
直線y=x上のx<0側、y=-xのx>0側、y=-xのx<0側も同様ですので、
これらの合計が、88組。

4)直線y=0とy=xを境界として、0<y<xの領域(つまり、x軸からの変位角θが0<θ<π/4)

(x、y)=(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3),(5,3),(5,4),(6,4),(6,5),(7,6),(8,7),(9,8),(10,9)の14組が(そしてこれらのみが)条件を満たします。
これが、14組。
同様の領域が他に7個ありますから、それを含めた合計が、
14×8で、112組。

上記の1)~4)をすべてたすと、
1+16+88+112=217

答: 217組

以上


[付記]

上記のように数え上げてみましたが、もっとスマートな解法はあるのでしょうか。
そこが気になります。
まあ、数え上げるにしても、xy平面を頭に描いて、できるだけ重複努力をなくしようにしましたが。

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