数学問題: 小さい方からk番目にあるときにk点


今日は、この問題を解いてみようと思います。

[問題]
https://twitter.com/mathematics_bot/status/631635541394518016
1から9までの数字が1つずつ書かれた9枚のカードから5枚を同時に取り出す。
取り出した5枚のカードに「5」がないならば0点、取り出した5枚のカードに「5」が
ある場合、5枚を小さい順に並べ「5」が小さい方からk番目にあるときk点を与える。
得点期待値を求めよ。


[私の回答]

1)取り出した5枚のカードの中に「5」が含まれる場合について:

その確率は、

その場合の平均点数は、3点 (5を中心として上下対称だから)

2)取り出した5枚のカードの中に「5」が含まれる場合について:

その確率は、

その場合の点数は、0点

上記1)、2)より、求めるべき期待値Eは、

E=3×(70/126)+0×(56/126)=5/3

以上


[付記]

上記の1)において、「上下対称だから平均3点」ということを使ってよいかどうか
が少し気になりましたが、まあ、明らかに正しいので、使いました。

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