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数学問題: 四面体に内接する球を求める


今度は、こんな問題が流れてきました。


[問題]
https://twitter.com/mathematics_bot/status/631076854573629440
Oを原点とする座標空間に3点A(1,0,0),B(0,2,0),C(0,0,3)がある。四面体OABCに内接する球の方程式を求めよ。


[私の回答]
問題より、求める球は、x≧0 且つ y≧0 且つ z≧0 の領域に存在し、
そして、xy平面、yz平面、zx平面にそれぞれ接します。

ということは、求める球の中心点は(r,r,r)であり、
その級の半径はrです。

また、三角形ABCを含む平面の方程式は、
6x+3y+2z=6 ・・・(1)
です。
したがって、この平面の法線ベクトルは、(6t,3t,2t)で表されます。
なお、tは0以外の実数です。

求める球の中心(r,r,r)から、式(1)で表される平面におろした垂線
の足である点Pの座標は、
(r+6t,r+3t,r+2t) ・・・(2)
で表されます。

そして、題意より、求める球の中心点から点Pへのベクトル(6t,3t,2t)の絶対値はrです。
つまり、
36t2+9t2+4t2=r2
です。これを解くと、
49t2=r2
したがって、
t=±(t/7)
ですが、式(2)の意味より、 t=r/7 をとります。

式(2)に、t=r/7 を代入すると、点Pの座標は、
(13r/7,10r/7,9r/7)
です。
この点Pは、式(1)で表される平面上に存在しますから、
78r/7+30r/7+18r/7=6
つまり、
126r=42
r=1/3

したがって、求めるべき球の方程式は、
(x-1/3)2+(y-1/3)2+(z-1/3)2=1/9

以上


[付記]

数式だけで解くのではなく、実際の空間を頭に描きながら解く方が楽ですね。

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