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また、三角形ABCを含む平面の方程式は、
6x+3y+2z=6 ・・・(1)
です。
したがって、この平面の法線ベクトルは、(6t,3t,2t)で表されます。
なお、tは0以外の実数です。
求める球の中心(r,r,r)から、式(1)で表される平面におろした垂線
の足である点Pの座標は、
(r+6t,r+3t,r+2t) ・・・(2)
で表されます。
そして、題意より、求める球の中心点から点Pへのベクトル(6t,3t,2t)の絶対値はrです。
つまり、
36t2+9t2+4t2=r2
です。これを解くと、
49t2=r2
したがって、
t=±(t/7)
ですが、式(2)の意味より、 t=r/7 をとります。
式(2)に、t=r/7 を代入すると、点Pの座標は、
(13r/7,10r/7,9r/7)
です。
この点Pは、式(1)で表される平面上に存在しますから、
78r/7+30r/7+18r/7=6
つまり、
126r=42
r=1/3
したがって、求めるべき球の方程式は、
(x-1/3)2+(y-1/3)2+(z-1/3)2=1/9
以上
[付記]
数式だけで解くのではなく、実際の空間を頭に描きながら解く方が楽ですね。
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