数学問題： 四面体に内接する球を求める

今度は、こんな問題が流れてきました。


［問題］
https://twitter.com/mathematics_bot/status/631076854573629440
Oを原点とする座標空間に3点A(1,0,0),B(0,2,0),C(0,0,3)がある。四面体OABCに内接する球の方程式を求めよ。


［私の回答］
問題より、求める球は、ｘ≧０ 且つ ｙ≧０ 且つ ｚ≧０ の領域に存在し、
そして、ｘｙ平面、ｙｚ平面、ｚｘ平面にそれぞれ接します。

ということは、求める球の中心点は（ｒ，ｒ，ｒ）であり、
その級の半径はｒです。

また、三角形ＡＢＣを含む平面の方程式は、
６ｘ＋３ｙ＋２ｚ＝６　・・・（１）
です。
したがって、この平面の法線ベクトルは、（６ｔ，３ｔ，２ｔ）で表されます。
なお、ｔは０以外の実数です。

求める球の中心（ｒ，ｒ，ｒ）から、式（１）で表される平面におろした垂線
の足である点Ｐの座標は、
（ｒ＋６ｔ，ｒ＋３ｔ，ｒ＋２ｔ）　・・・（２）
で表されます。

そして、題意より、求める球の中心点から点Ｐへのベクトル（６ｔ，３ｔ，２ｔ）の絶対値はｒです。
つまり、
３６ｔ²＋９ｔ²＋４ｔ²＝ｒ²
です。これを解くと、
４９ｔ²＝ｒ²
したがって、
ｔ＝±（ｔ／７）
ですが、式（２）の意味より、　ｔ＝ｒ／７　をとります。

式（２）に、ｔ＝ｒ／７　を代入すると、点Ｐの座標は、
（１３ｒ／７，１０ｒ／７，９ｒ／７）
です。
この点Ｐは、式（１）で表される平面上に存在しますから、
７８ｒ／７＋３０ｒ／７＋１８ｒ／７＝６
つまり、
１２６ｒ＝４２
ｒ＝１／３

したがって、求めるべき球の方程式は、
（ｘ－１／３）²＋（ｙ－１／３）²＋（ｚ－１／３）²＝１／９

以上


［付記］

数式だけで解くのではなく、実際の空間を頭に描きながら解く方が楽ですね。